다이나믹 프로그래밍 (Dynamic Programming)

다이나믹 프로그래밍

• 다이나믹 프로그래밍은 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법이다.
• 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 한다.
• 다이나믹 프로그래밍의 구현은 일반적으로 두 가지  방식으로 구성된다.
  • Top-down (하향식)
  • Botton-up (상향식)
• 다이나믹 프로그래밍은 동적 계획법이라고도 불린다.

 

• 일반적인 프로그래밍 분야에서의 동적(Dynamic) 의미와 차이점
  • 자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 '프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법'
  • 다이나믹 프로그래밍에서 '다이나믹'은 별다른 의미가 없음 

<다이나믹 프로그래밍을 사용할 수 있는 최적 조건>

 

- 최적 부분 구조 (Optimal Substructure) : 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.

- 중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem) : 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다. 

 

 

→ 피보나치 수열은 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있음

• 프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트를 이용해 표현한다.

 

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현
def fibo(x):
	if x==1 or x==2:
    	return 1
    return fibo(x-1) + fibo(x-2)
    
print(fibo(4))

※ 단순 재귀 함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도를 가지게 된다. -> 시간 복잡도가 높아짐 : O(2^n)

 

 

메모이제이션 (Memoization) -> 탑다운 방식

• 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나이다.
• 한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법.
  • 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져온다.
  • 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 한다.
• 엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미한다.
  • 한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있다.

 

★ 다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식

- 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부름

- 보텀업 방식에서는 보통 반복문을 씀

 

 

↓ 피보나치 수열 : 탑다운 다이나믹 프로그래밍 소스코드

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기  위한 리스트 초기화
d = [0] * 100

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
	# 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    if x==1 or x==2:
    	return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x]!=0:
    	return d[x]
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x-1) + fibo(x-2)
    return d[x]

print(fibo(99))

 

↓ 피보나치 수열 : 보텀업 다이나믹 프로그래밍 소스코드

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0]*100

# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

# 피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3,n+1):
	d[i] = d[i-1] + d[i-2]

print(d[n])

→ 작은 것들부터 해결한 후에 그것들을 종합해서 큰 것을 해결함.

 

 

★ 메모이제이션을 이용하는 경우 피보나치 수열 함수의 시간 복잡도는 O(N) 이다.

→지수 시간 복잡도에서 선형 시간 복잡도로 줄어듦

 

<다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법>

• 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요하다.
• 가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결 할 수 있는지 검토할 수 있다.
  • 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려해보자.
  • 특히, 부분 문제들이 중복된다면 DP를 적용해볼 수 있음 (부분 문제들이 중복되지 않을 땐 분할 정복 고려)
• 일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤에 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법을 사용할 수 있다.

 

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<문제1> 개미 전사

• 개미 전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 한다. 메뚜기 마을에 는 여러 개의 식량창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져 있다.
• 각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있으며 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탈하여 식량 을 빼앗을 예정이다. 이때 메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창고가 공격받으면 바로 알아챌 수 있다.
• 따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 한다.

• 이때 개미 전사는 두 번째 식량창고와 네 번째 식량창고를 선택했을 때 최댓값인 총 8개의 식량을 빼앗을 수 있다. 개미 전사는 식량창고가 이렇게 일직선상일 때 최대한 많은 식량을 얻기를 원한다.
• 개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하라.

<문제 해결>

ai = i번째 식량창고까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 식량의 최댓값)

ki = i번째 식량창고에 있는 식량의 양

점화식 : ai = max(ai-1,ai-2+ki)

 

<코드>

# 정수 N을 입력 받기
n = int(input())
# 모든 식량 정보 입력 받기
array = list(map(int, input().split()))

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 다이나믹 프로그래밍 진행 (보텀업)
d[0] = array[0]
d[1] = max(array[0], array[1])
for i in range(2,n):
    d[i] = max(d[i-1],d[i-2]+array[i])

# 계산된 결과 출력
print(d[n-1])

 

 

<문제2> 1로 만들기

• 정수 X가 주어졌을 때, 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지이다.

1. X가 5로 나누어 떨어지면, 5로 나눈다.
2. X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다.
3. X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다.
4. X에서 1을 뺀다.

• 정수 X가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절히 사용해서 값을 1로 만들고자 한다. 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하라. 예를 들어 정수가 26이면 다음과 같이 계산해서 3번의 연산이 최솟값이다.
  • 26 → 25 → 5 → 1

 

<코드>

# 정수 X를 입력 받기
x = int(input())

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 30001

# 다이나믹 프로그래밍 진행 (보텀업)
for i in range(2, x+1):
    # 현재의 수에서 1을 빼는 경우
    d[i] = d[i-1] + 1
    # 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
    if i%2==0:
        d[i] = min(d[i],d[i//2]+1)
    # 현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우
    if i%3==0:
        d[i] = min(d[i],d[i//3]+1)
    # 현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
    if i%5==0:
        d[i] = min(d[i],d[i//5]+1)

print(d[x])

 

 

 

<문제3> 효율적인 화폐 구성

• N가지 종류의 화폐가 있다. 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 한다. 이때 각 종류의 화폐는 몇 개라도 사용할 수 있다.
• 예를 들어 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 화폐 개수이다.
• M원을 만들기 위한 최소한의 화폐 개수를 출력하는 프로그램을 작성하라.

 

<코드>

# 정수 N,M을 입력받기
n,m = map(int, input().split())
# N개의 화페 단위 정보를 입력받기
array = []
for i in range(n):
    array.append(int(input()))

# 한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [10001] * (m+1)

# 다이나믹 프로그래밍 진행 (보텀업)
d[0] = 0
for i in range(n):
    for j in range(array[i],m+1):
        if d[j-array[i]] != 10001:
            d[j] = min(d[j], d[j-array[i]]+1)

# 계산된 결과 출력
if d[m] == 10001: # 최종적으로 M원을 만드는 방법이 없는 경우
    print(-1)
else:
    print(d[m])

 

 

 

 

<문제3> 금광

• n x m 크기의 금광이 있다. 금광은 1 x 1 크기의 칸으로 나누어져 있으며, 각 칸은 특정한 크기의 금이 들어 있다.
• 채굴자는 첫 번째 열부터 출발하여 금을 캐기 시작한다. 맨 처음에는 첫 번째 열의 어느 행에서든 출발할 수 있다. 이후에 m - 1번에 걸쳐서 매번 오른쪽 위, 오른쪽, 오른쪽 아래 3가지 중 하나의 위치로 이동해야 한다. 결과적으로 채굴자가 얻을 수 있는 금의 최대 크기를 출력하는 프로그램을 작성하라.

<문제 해결>

• 금광의 모든 위치에 대하여 다음의 세 가지만 고려하면 된다.
  • 왼쪽 위에서 오는 경우
  • 왼쪽 아래에서 오는 경우
  • 왼쪽에서 오는 경우
• 세 가지 경우 중에서 가장 많은 금을 가지고 있는 경우를 테이블에 갱신해주어 문제를 해결한다.
• array[i][j] = i행 j열에 존재하는 금의 양
• dp[i][j] = i행 j열까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 금의 최댓값)
• 점화식 : dp[i][j] = array[i][j] + max(dp[i-1][j-1], dp[i][j-1], dp[i+1][j-1])
• 이때 테이블에 접근할 때마다 리스트의 범위를 벗어나지 않는지 체크해야 한다.
• 편의상 초기 데이터를 담는 변수 array를 사용하지 않아도 된다.
  • 바로 DP 테이블에 초기 데이터를 담아서 다이나믹 프로그래밍을 적용할 수 있다.

<코드>

# 테스트 케이스(Test Case) 입력
for tc in range(int(input())):
    # 금광 정보 입력
    n, m = map(int, input().split())
    array = list(map(int, input().split()))
    # 다이나믹 프로그래밍을 위한 2차원 DP 테이블 초기화
    dp = []
    index = 0
    for i in range(n):
        dp.append(array[index:index+m])
        index += m
    # 다이나믹 프로그래밍 진행
    for j in range(1, m):
        for i in range(n):
            # 왼쪽 위에서 오는 경우
            if i==0:left_up = 0
            else: left_up = dp[i-1][j-1]
            # 왼쪽 아래에서 오는 경우
            if i==n-1: left_down = 0
            else: left_down = dp[i+1][j-1]
            # 왼쪽에서 오는 경우
            left = dp[i][j-1]
            dp[i][j] = dp[i][j] + max(left_up, left_down, left)
    result = 0
    for i in range(n):
        result = max(result, dp[i][m-1])
    print(result)

→ array[index:index+m] : index 부터 (index+m)-1 까지 슬라이스 함

 

 

 

<문제4> 병사 배치하기

• N명의 병사가 무작위로 나열되어 있다. 각 병사는 특정한 값의 전투력을 보유하고 있다.
• 병사를 배치할 때는 전투력이 높은 병사가 앞쪽에 오도록 내림차순으로 배치를 하고자 한다. 다시 말해 앞쪽에 있는 병사의 전투력이 항상 뒤쪽에 있는 병사보다 높아야 한다.
• 또한 배치 과정에서는 특정한 위치에 있는 병사를 열외시키는 방법을 이용한다. 그러면서도 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하고 싶다.

 

<문제 해결>

• 이 문제의 기본 아이디어는 가장 긴 증가하는 부분 수열(Longest Increasing Subsequence, LIS)로 알려진 전형적인 다이나믹 프로그래밍 문제의 아이디어와 같다.
• 예를 들어 하나의 수열 array = {4, 2, 5, 8, 4, 11, 15}이 있다고 하자.
  • 이 수열의 가장 긴 증가하는 부분 수열은 {4, 5, 8, 11, 15}이다.
• 본 문제는 가장 긴 감소하는 부분 수열을 찾는 문제로 치환할 수 있으므로, LIS 알고리즘을 조금 수정하여 적용함으로써 정답을 도출할 수 있다.
• 점화식 : 모든 0 ≤ j < i 에 대하여, D[i] = max(D[i], D[j]+1) if array[j] < array[i] 

 

<코드>

 

n = int(input())
array = list(map(int, input().split()))
# 순서를 뒤집어 '최장 증가 부분 수열' 문제로 변환
array.reverse()

# 다이나믹 프로그래밍을 위한 1차원 DP 테이블 초기화
dp = [1] * n

# 가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘 수행
for i in range(1,n):
    for j in range(0,i):
        if array[j] < array[i]:
            dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)

# 열외해야 하는 병사의 최소 수를 출력
print(n-max(dp))